In [1]:
%pylab inline
import matplotlib.pyplot as plt

from ipywidgets import *

Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

Relativisztikus rakéta

A 2018. évi Ortvay verseny 24. feladata:

Egy rakéta egyenes vonalban mozog, sajátidő-egységenként állandó tömegű hajtógázt lövellve ki hátrafelé. A gáznak a rakétához viszonyított sebessége $u=c/n$, ahol $c$ a fénysebesség, $n$ pedig $1$-nél nagyobb szám. Ha a rakéta teljes egészében hajtógázból állna, tömege $T$ idő alatt csökkenne nullára.

A téridő mely pontjáig juthat el a gyorsuló rakéta az üzemanyag elfogyása előtt? Adjuk meg a választ az $n$ paraméter függvényében! Vizsgáljuk meg a fotonrakétát is, mint határesetet!

Megoldás:

Négyesimpulzus-megmaradás:

$$ M\begin{pmatrix} \mathrm{ch}\chi \\ \mathrm{sh}\chi \end{pmatrix} = \mu \, d \tau \begin{pmatrix} \mathrm{ch}(\chi -\alpha) \\ \mathrm{sh}(\chi -\alpha) \end{pmatrix}+ M(\tau +d\tau )\begin{pmatrix} \mathrm{ch}\chi (\tau +d\tau ) \\ \mathrm{sh}\chi (\tau +d\tau ) \end{pmatrix}, $$

ahol $\mu$ a sajátidő-egységenként kilövellt hajtógázt tömege, $v = c \cdot \mathrm{th} \chi$ a rakéta sebessége, $u = c \cdot \mathrm{th} \alpha$ , és $\tau$ a rakéta sajátideje. A feladat alapján: $\mathrm{th} \alpha = 1/n $.

A fenti egyenletet linearizálva $d \tau$ szerint, kapjuk: $$ 0 = \mu \, \mathrm{ch}\alpha \begin{pmatrix} \mathrm{ch}\chi \\ \mathrm{sh}\chi \end{pmatrix} - \mu \, \mathrm{sh}\alpha \begin{pmatrix} \mathrm{sh}\chi \\ \mathrm{ch}\chi \end{pmatrix} + \dot{M}(\tau )\begin{pmatrix} \mathrm{ch}\chi \\ \mathrm{sh}\chi \end{pmatrix}+ M \, \dot{\chi}\begin{pmatrix} \mathrm{sh}\chi \\ \mathrm{ch}\chi \end{pmatrix}, $$

ahol $\dot{M} = \frac{d M}{d\tau}$ és $\dot{\chi} = \frac{d \chi}{d\tau}$.

A két komponensből adódó két egyenletből az elsőt $\mathrm{ch}\chi$-vel, a másodikat $\mathrm{sh}\chi$-vel szorozva, és azokat egymásból kivonva, majd ugyenezt elvégezve, csak az elsőt szorzva $\mathrm{sh}\chi$-vel és a másodikat $\mathrm{sh}\chi$-vel, és azokat ismét kivonva egymásból, a köevtekezőt kapjuk:

\begin{eqnarray} 0 &=& \mu \, \mathrm{ch}\alpha + \dot{M}, \\ 0 &=& \mu \, \mathrm{sh}\alpha -M \dot{\chi}. \end{eqnarray}

Ezután az első egyenletből kifejezve $\mu$-t és beírva a második egyenletbe, kapjuk:

$$ \frac{\dot{M}}{M} = -n \dot{\chi}, $$

ahol kihasználtuk, hogy $\mathrm{th} \alpha = 1/n $. Ezt az egyenletet könnyen integrálhatjuk $\tau $ szerint:

$$ M(\tau) = M_0 e^{-n\chi(\tau)}. $$

Feltesszük, hogy az üzemanyag a rakéta rendszereében egyenletesen fogy időben, azaz a rakéta tömegét $M(\tau) = M_0 \left(1-\frac{\tau}{T}\right)$ alakban írhatjuk, ahol $T$ jelöli azt az időt, amikor az összes üzemanyag elfogy, és a rakéta tömege zérus lesz. Ezt beírva az utolsó elötti egyenletbe, kapjuk:

$$ \chi =\frac{1}{n}\, \ln \frac{T}{T-\tau}, $$

ha a kezdőpillanatban $v(\tau=0)=0$, azaz $\chi(\tau = 0) =0$.

A rakéta négyessebessége:

$$ \begin{pmatrix} u^0 \\ u^1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \cdot \dot{t}(\tau) \\ \dot{x}(\tau) \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} \mathrm{ch}\chi \\ \mathrm{sh}\chi \end{pmatrix}. $$

Innen $\tau $ szerint integrálva, és áttérve a $\tau$ változóról $\chi$-re, a következő végeredményt kapjuk:

$ t (\tau) = T\frac{n^2}{n^2-1}\left[1-e^{-n \chi}\left(\cosh(\chi)+ \frac{1}{n}\, \sinh(\chi)\right) \right]$

$x (\tau)= c \cdot T\frac{n}{n^2-1}\left[1-e^{-n \chi}\left(\cosh(\chi)+ n\, \sinh(\chi)\right) \right]$, ahol $\chi = \frac{1}{n}\, \ln \frac{T}{T-\tau}$.

Könnyen belátható, hogy a fenti téridő-koordináták $\tau\to T$-re (amikor elfogy az üzemanyag):

$ t_0 = \lim_{\tau\to T} t(\tau) = T\frac{n^2}{n^2-1},$

$x_0 = \lim_{\tau\to T} x(\tau) = T\frac{n}{n^2-1}$.

Megmutatható, hogy ezek a koordináták a ${\left(t_0 - \frac{T}{2}\right)}^2 -x_0^2 =\frac{T^2}{4}$ hiperbolán vannak.

A rakéta $v(t)$ sebességét úgy ábrázolhatjuk, hogy plottoljuk a $t(\chi)$ és $v = c \cdot \mathrm{th}\chi$ értékpárokat a $\chi$ paraméter függvényében.

Hasonlóan az $a(t)$ gyorsulás:

$$ a(t) = \frac{d v}{d t}= \frac{d v}{d \tau}\, \frac{d \tau}{d t}= \frac{d (c \cdot \mathrm{th}\chi )}{d \tau}\, \, \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = c \, \frac{\dot{\chi} }{\mathrm{ch}^2 \chi}\, \, \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = c \, \frac{\dot{\chi} }{\mathrm{ch}^3 \chi} = \frac{c }{n T}\, \frac{e^{n\chi}}{\mathrm{ch}^3 \chi} = \frac{u }{T}\, \frac{e^{n\chi}}{\mathrm{ch}^3 \chi}. $$

A plottolás hasonlóan történik, mint a $v(t)$ sebesség esetén.

In [2]:
def t_x(chi,n):
    
    tt = n**2/(n**2-1)*(1-exp(-n*chi)*(cosh(chi)+1/n*sinh(chi)))
    xx = n/(n**2-1)*(1-exp(-n*chi)*(cosh(chi)+n*sinh(chi)))
    
    return(xx,tt)

def t_x_hat(n):
    
    t0=n**2/(n**2-1)
    x0=n/(n**2-1)
    
    return(x0,t0)
In [3]:
T = 10

figsize(12,8)
#ax=subplot(aspect='equal')
ax=subplot(111,aspect='equal')

n = 1.5
chivec=linspace(0,10,1000)
res=t_x(chivec,n)
plot(res[0],res[1],'-b', label=r'$n= $' +str(n))

n = 2.5
res=t_x(chivec,n)
plot(res[0],res[1],'--b',  label=r'$n= $' +str(n))

n = 5
res=t_x(chivec,n)
plot(res[0],res[1],'--g',  label=r'$n= $' +str(n))

legend(loc='center right',fontsize = 15)

## a raketa vegso koordinatai (amikor elfogy az -zemanyag)
nvec=linspace(1.5,10,100)
reshat=t_x_hat(nvec)
plot(reshat[0],reshat[1],'-r');

plot([0,reshat[0][0]],[0,0],'-k')
plot([0,0],[0,reshat[1][0]],'-k');

text(0,reshat[1][0],'$t$',fontsize=20)
text(reshat[0][0],0,'$x$',fontsize=20);

title('A rakéta pályája a K rendszerből különböző $u$-ra \n tengelyek: $x/(c T)$ és $t/T$');
In [4]:
T = 10

n1 = 1.5
n2 = 2.
n3 = 3.

figsize(16,8)
#ax=subplot(aspect='equal')
#ax=subplot(131,aspect='equal')
ax=subplot(131)

chivec=linspace(0,10,1000)
res1=t_x(chivec,n1)
plot(res1[0],res1[1],'-b', label=r'$n= $' +str(n1))

res2=t_x(chivec,n2)
plot(res2[0],res2[1],'--b',  label=r'$n= $' +str(n2))

res3=t_x(chivec,n3)
plot(res3[0],res3[1],'-g',  label=r'$n= $' +str(n3))

legend(loc='center right',fontsize = 15)

## a raketa vegso koordinatai (amikor elfogy az -zemanyag)
nvec=linspace(1.4,10,100)
reshat=t_x_hat(nvec)
plot(reshat[0],reshat[1],'-r');

plot([0,reshat[0][0]],[0,0],'-k')
plot([0,0],[0,reshat[1][0]],'-k');

text(0,reshat[1][0],'$t$',fontsize=20)
text(reshat[0][0],0,'$x$',fontsize=20);

title('A rakéta pályája a K rendszerből különböző $u$-ra, \n A piros vonal a rakta végső téridő pontja');

subplot(132)

plot(res1[1],tanh(chivec),'-r', label=r'$n= $' +str(n1))
plot(res2[1],tanh(chivec),'--b', label=r'$n= $' +str(n2))
plot(res3[1],tanh(chivec),'-g', label=r'$n= $' +str(n3))
legend(loc='upper left',fontsize = 15)

xlabel(r'$t/T$', color='blue',fontsize=20)
ylabel(r'$v(t)/c$', color='blue',fontsize=20)
title('A rakéta $v(t)$ sebessége a K rendszerben \n a $t$ függvényében különböző $u= c/n$-ra');

subplot(133)

plot(res1[1],1/cosh(chivec)**3 * exp(n1*chivec),'-r', label=r'$n= $' +str(n1))
plot(res2[1],1/cosh(chivec)**3 * exp(n2*chivec),'--b', label=r'$n= $' +str(n2))
plot(res3[1],1/cosh(chivec)**3 * exp(n3*chivec),'-g', label=r'$n= $' +str(n3))
legend(loc='upper left',fontsize = 15);

title('A rakéta $a(t)$ gyorsulása a K rendszerben \n a $t$ függvényében különböző $u= c/n$-ra');

xlabel(r'$t/T$', color='blue',fontsize=20)
ylabel(r'$a(t)\, \frac{T}{u}$', color='blue', fontsize=20)

tight_layout();